EXAMINATION OF DIFFERENT SOLUTION APPROACHES FOR CERTAIN TYPES OF COMPLEX INTEGRALS

Abstract

ABSTRACT

In this thesis, three different solution approaches are investigated for complex integrals of a certain type. These approaches are analyzed and applied to a similar kind of integral as an example in various chapters. The first approach is the solution by the method of saddle point formula for the presented complex integral. The second approach is the deformation of the integration contour onto branch cuts and calculation of integral over the branch cut. The third technique is to introduce a smooth contour formulation to calculate these types of complex integral numerically. Moreover, only the saddle point method produces an analytical result for large parameter values. In addition, in the other approaches, the results are still in an integral form. Branch cut integration approach results with an infinite integral while smooth contour approach results with a finite integral. However, in both approaches the obtained integrals have become more suitable for parametric numerical studies. Numerical calculations for different integral parameters showed that all three approaches in a good aggreament at higher frequencies as expected while saddle point formula seems far from being compatible with the other two methods at lower frequencies.

ÖZET

Bu tezde, belirli bir tipteki karmaşık integraller için üç farklı çözüm yaklaşımı incelenmiştir. Farklı bölümlerde bu yaklaşımlar analiz edilmiş ve örnek olarak benzer türdeki bir integrale uygulanmıştır. Birinci yaklaşım, bu karmaşık integral için semer noktası formülü yöntemiyle çözüm yöntemi, ikinci yaklaşım, integral konturunun kesim çizgileri üzerine deformasyonu ve bu kesim çizgileri üzerinden integralin hesaplanmasıdır. Üçüncü yaklaşım ise, bu tür karmaşık integralleri sayısal olarak hesaplamak için düzgün bir kontur formülasyonu sunmaktır. Yalnızca semer noktası yöntemi büyük parametre değerleri için analitik sonuçlar üretirken, diğer yaklaşımlarda sonuçlar hala integral formdadır. Kesim çizgisi integrasyon yaklaşımı sonsuz bir integral ile sonuçlanırken, düzgün kontur yaklaşımı sonlu bir integral ile sonuçlanmıştır. Ancak, her iki yaklaşımda da elde edilen integraller parametrik sayısal çalışmalar için daha uygun hale gelmiştir. Farklı integral parametreleri için yapılan sayısal hesaplamalar, her üç yaklaşımın da beklendiği gibi yüksek frekanslarda iyi bir uyum içinde olduğunu gösterirken, eyer noktası formülü daha düşük frekanslarda diğer iki yöntemle uyumlu olmaktan uzak görünmektedir.