MONOTONICITY RESULTS FOR DISCRETE CAPUTO-FABRIZIO FRACTIONAL OPERATORS

Abstract

ABSTRACT

Nearly every theory in mathematics has a discrete equivalent that simplifies it theoretically and practically so that it may be used in modeling real-world issues. With discrete calculus, for instance, it is possible to find the "difference" of any function from the first order up to the n-th order. On the other hand, it is also feasible to expand this theory using discrete fractional calculus and make n any real number such that the 1⁄2-order difference is properly defined. This thesis is divided into five chapters, each of which develops the most straightforward discrete fractional variational theory while illustrating some fundamental concepts and features of discrete fractional calculus. It is also investigated how the idea may be applied to the development of tumors.

The first chapter provides a succinct introduction to discrete fractional calculus and several key mathematical concepts that are utilized often in the subject. We demonstrate in Chapter 2 that if the Caputo-Fabrizio nabla fractional difference operator (_(a-1)^CFR ∇^α y)(t) of order 0<α≤1 and commencing at a-1 is positive for t=a,a+1,…, then y(t) is α-increasing.

On the other hand, if y(t) is rising and y(a)≥0, then (_(a-1)^CFR ∇^α y)(t)≥0.

Additionally, a result of monotonicity for the Caputo-type fractional difference operator is established. We show a fractional difference version of the mean-value theorem as an application and contrast it to the traditional discrete fractional instance.

ÖZET

Matematikteki neredeyse her teorem, teorik ve pratik olarak basitleştiren ayrık bir eşdeğere sahiptir, böylece gerçek dünya sorunlarının modellenmesinde kullanılabilir. Örneğin, ayrık hesapla (Kalkulus), herhangi bir fonksiyonun birinci mertebeden n'inci mertebeye kadar olan "farkını" bulmak mümkündür.

Diğer yandan, ayrık kesirli hesap kullanarak bu teoriyi genişletmek ve 1/2 mertebeden fark uygun şekilde tanımlanacak şekilde herhangi bir gerçel sayı ya da reel sayı yapmak da mümkündür.

Bu tez beş bölüme ayrılmıştır, her bölüm ayrık kesirli hesabın bazı temel kavramlarını ve özelliklerini gösterirken en basit ayrık kesirli varyasyon teorisini geliştirir. Ayrıca, fikrin tümörlerin gelişimine nasıl uygulanabileceği de araştırılmıştır.

İlk bölüm ayrık kesirli hesabı ve bu konuda sıklıkla kullanılan birkaç temel matematiksel kavramı tanıtmaktadır. Bölüm 2'de, 0<α≤1 mertebesindeki ve a-1'de başlayan Caputo-Fabrizio nabla kesirli fark operatörü (〖_(a-1)^CFR〗∇^α y)(t), t = a, a + 1, ... için pozitifse, o zaman y(t) α -artar.

Diğer yandan, y(t) yükseliyorsa ve y(a)≥0 ise, (〖_(a-1)^CFR〗∇^α y)(t)≥0.

Ayrıca, Caputo tipi kesirli fark operatörü için monotonluğun bir sonucu elde edilmiştir. Bir uygulama olarak ortalama değer teoreminin kesirli bir fark versiyonu gösterilmiştir ve onu geleneksel ayrık kesirli örnekle karşılaştırılmıştır.